Question

如图，二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①

如图，二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b 2 ＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

Answer 1

B

分析：∵二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），∴c=1，a﹣b+c=0。 ①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴ x＞0。∴a与b异号。∴ab＜0，正确。 ②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b 2 ﹣4ac＞0。 ∵c=1，∴b 2 ﹣4a＞0，即b 2 ＞4a。正确。 ④∵抛物线开口向下，∴a＜0。 ∵ab＜0，∴b＞0。 ∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1。∴b﹣1＜0，即b＜1。∴0＜b＜1，正确。 ③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b。∴a+b+c=2b＞0。 ∵b＜1，c=1，a＜0，∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2。∴0＜a+b+c＜2，正确。 ⑤抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x 0 ，0），则x 0 ＞0， 由图可知，当﹣1＜x＜x 0 时，y＞0；当x＞x 0 时，y＜0。 ∴当x＞﹣1时，y＞0的结论错误。 综上所述，正确的结论有①②③④。故选B。