Question

已知椭圆Cx2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22．直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．（1）求

已知椭圆Cx2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22．直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点(0，?12)，证明：2k2+1=2m；（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

（1）设椭圆C的标准方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
由已知可得

e＝ c a ＝ 2 2 2b＝2 a2＝b2+c2

解得a²=2，b²=1．
故椭圆C的标准方程

x2

2

+y2=1．…4分
（2）联立方程

y＝kx+m x2 2 +y2＝1

，消y得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
当△=8（2k²-m²+1）＞0，即2k²+1＞m²①时，x₁+x₂=

?4km

1+2k2

，x₁?x₂=

2m2?2

1+2k2

．
所以

x1+x2

2

＝

?2km

1+2k2

，

y1+y2

2

＝

m

1+2k2

．
又

y1+y2 2 ?(? 1 2 )

x1+x2 2 ?0

＝?

1

k

，化简整理得：2k²+1=2m②．…9分
（3）代②入①得：0＜m＜2．
又原点O到直线AB的距离为d=

|m|

1+k2

．|AB|=

1+k2

|x1?x2|＝2

1+k2

4k2?2m2+2

1+2k2

．
所以S_△AOB=

1

2

|AB|?d＝

|m| 4k2?2m2+2

1+2k2

．
而2k²+1=2m且0＜m＜2，则S_△AOB=

1

2

4m?2m2

，0＜m＜2．
所以当m=1，即k²=

1

2

时，S_△AOB取得最大值

2

2

．…13分