Question

已知数列{a n }满足：a 1 = ，a 2 = ，a n+1 =2a n -a n-1 （n≥2，n∈N*），数列{b n }满足：b 1 ＜0

已知数列{a n }满足：a 1 = ，a 2 = ，a n+1 =2a n -a n-1 （n≥2，n∈N*），数列{b n }满足：b 1 ＜0，3b n -b n-1 =n（n≥2，n∈N*），数列{b n }的前n项和为S n ，(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求证：数列{b n -a n }为等比数列； (3)若n=4时，S n 取得最小值，求b 1 的取值范围。



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Answer 1

（Ⅰ）证明：由 ， 可得 ， 即 ， 可知数列{a n }为等差数列。 （Ⅱ）证明：∵{a n }为等差数列， ∴公差 ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ， 又 ， ∴对 ， ∴数列{b n -a n }是公比为 的等比数列。 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得 ， ∴ ， ， 可知数列{b n }为递增数列， 由当且仅当n=4时，S n 取得最小值可得 ， ∴ ， 又当 时，由数列{b n }为递增数列， 可知S n 取得最小值时，n=4， 即当且仅当n=4时，S n 取得最小值的充要条件是 ， 由 ； 由 ； ∴b 1 的取值范围为（-182，-47）。