Question

已知数列{a n }满足a 1 =1，a 2 =2，a n+2 = a n + a n+1 2 ，n∈N * ．（1）令b n =

已知数列{a n }满足a 1 =1，a 2 =2，a n+2 = a n + a n+1 2 ，n∈N * ．（1）令b n =a n+1 -a n ，证明：{b n }是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．

Answer 1

（1）证b
1
=a
2
-a
1
=1，
当n≥2时，
b
n
=
a
n+1
-
a
n
=
a
n-1
+
a
n
2
-
a
n
=-
1
2
(
a
n
-
a
n-1
)=-
1
2
b
n-1，
所以{b
n
}是以1为首项，
-
1
2
为公比的等比数列．
（2）解由（1）知
b
n
=
a
n+1
-
a
n
=(-
1
2
)
n-1
，
当n≥2时，a
n
=a
1
+（a
2
-a
1
）+（a
3
-a
2
）++（a
n
-a
n-1
）=1+1+（-
1
2
）+…+
(-
1
2
)
n-2
=
1+
1-
(-
1
2
)
n-1
1-(-
1
2
)
=
1+
2
3
[1-(-
1
2
)
n-2
]
=
5
3
-
2
3
(-
1
2
)
n-1
，
当n=1时，
5
3
-
2
3
(-
1
2
)
1-1
=1=
a
1
．
所以
a
n
=
5
3
-
2
3
(-
1
2
)
n-1
(n∈
N
*
)
．