如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝
如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝1．（1）求证：面PAD⊥面PCD；（2...
如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝1．（1）求证：面PAD⊥面PCD；（2）求直线PC与面PAD所成角的余弦值；（3）求AC与PB所成的角的余弦值．
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（1）∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA
∵PA、AD是平面PAD内的相交直线，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PAD⊥面PCD；
（2）∵CD⊥平面PAD，得PD是PC在平面PAD内的射影
∴∠CPD就是线PC与面PAD所成角
∵CD=1，PD=
，
∴Rt△PCD中，PC=
=
，cos∠CPD=
=
，
即直线PC与面PAD所成角的余弦值是
；
（3）分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图
可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）
∴
=（1，1，0），
=（0，2，-1）
可得|
∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA
∵PA、AD是平面PAD内的相交直线，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PAD⊥面PCD；
（2）∵CD⊥平面PAD，得PD是PC在平面PAD内的射影
∴∠CPD就是线PC与面PAD所成角
∵CD=1，PD=
| 2 |
∴Rt△PCD中，PC=
| CD2+PD2 |
| 3 |
| PD |
| PC |
| ||
| 3 |
即直线PC与面PAD所成角的余弦值是
| ||
| 3 |
（3）分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图
可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）
∴
| AC |
| PB |
可得|
