已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A，B椭圆C上任意两点，满足OA⊥OB（O为坐...
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A，B椭圆C上任意两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点），（ⅰ）试判断点O到直线AB的距离是否为定值；若是，求出该值；若不是，请说明理由？（ⅱ）点P是以椭圆C的长轴为直径的圆上任意一点，求△PAB的面积的最大值．
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（Ⅰ）∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，
短轴端点到焦点的距离为2，
∴
，解得a=2，c=
，
∴b2=a2-c2=4-3=1，
∴椭圆C的方程为
+y2＝1．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±
，
原点O到直线AB的距离为
．…（5分）
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
则由
，得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
△=16（1+4k2-m2）＞0，
x1+x2＝?
，x1x2＝
，…（7分）
由
?
＝x1x2+y1y2＝
＝0，
得m2＝
(1+k2)，…（8分）
∴原点O到直线AB的距离d=
=
=
．
综上所述，原点O到直线AB的距离为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
短轴端点到焦点的距离为2，
∴
|
| 3 |
∴b2=a2-c2=4-3=1，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）（ⅰ）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±
2
| ||
| 5 |
原点O到直线AB的距离为
2
| ||
| 5 |
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
则由
|
△=16（1+4k2-m2）＞0，
x1+x2＝?
| 8km |
| 1+4k2 |
| 4m2?4 |
| 1+4k2 |
由
| OA |
| OB |
| 5m2?4?4k2 |
| 1+4k2 |
得m2＝
| 4 |
| 5 |
∴原点O到直线AB的距离d=
| |m| | ||
|
| ||||
|
2
| ||
| 5 |
综上所述，原点O到直线AB的距离为
