Question

已知函数f（x）=lnxx+a（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）求实数a的值

已知函数f（x）=lnxx+a（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，f′(x)＝

x+a x ?lnx

(x+a)2

（x＞0），（1分）
所以f′(1)＝

1+a

(1+a)2

=

1

1+a

，
由切线方程得f′（1）=1，即

1

1+a

=1，解得a=0，
此时f(x)＝

lnx

x

（x＞0），f′(x)＝

1?lnx

x2

，（3分）
令f′（x）＞0得，1-lnx＞0，解得0＜x＜e；
令f′（x）＜0得，1-lnx＜0，解得x＞e，
所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（5分）
（2）解法一：
由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f（2014）＞f（2015），
即

ln2014

2014

＞

ln2015

2015

，则2015ln2014＞2014ln2015，
所以ln2014²⁰¹⁵＞ln2015²⁰¹⁴，即2014²⁰¹⁵＞2015²⁰¹⁴（9分）
解法二：

20152014

20142015

=(

2015

2014

)2014×

1

2014

，
因为(

2015

2014

)2014=(1+

1

2014

)2014
=1+1+

C

2 2014

(

1

2014

)2+

C

3 2014

(

1

2014

)3+…+

C

2014 2014

(

1

2014

)2014
＜2+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

2014!

＜2+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2013×2014

＜2+（1-

1

2

）+（

1

2

?

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）
=3-

1

2014

＜3，
所以

20152014

20142015

＜

3

2014

＜1，所以2014²⁰¹⁵＞2015²⁰¹⁴．（9分）
（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则k＞

lnx

x2

+

2

x

，
记g（x）=

lnx

x2

+

2

x

，只需k＞g（x）_max．
又g′(x)＝

1?2lnx

x3

?

2

x2

=

1?2x?2lnx

x3

，（10分）
记h（x）=1-2x-2lnx（x＞0），则h′(x)＝?2?

2

x

＜0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（1）=-1＜0，h(

2

2

)＝1?

2

?2ln

2

2

=1-

2

+ln2＞1-

3

2

+ln2=ln

2

e

＞0，
所以存在唯一x0∈(

2

2

，1)，使得h（x₀）=0，即1-2x₀-2lnx₀=0，（11分）
当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
h（x）	+	0	-
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

（12分）
所以g（x）_max=g（x₀）=

2x0+lnx0

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