Question

如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位

如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为S。 （1）求S关于t的函数关系式；（2）求出S的最大值；（3）t为何值时，将△CPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？

Answer 1

解：（1）①当0<t≤2时，如图（1），过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E， ∵∠BCE=∠D=60°，∴BE=4 ， ∵CP=t， ∴ ； ②当2<t≤4时，如图（2），CP=t，BQ=2t-4，CQ=8-（2t-4）=12-2t， 过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于点F ∵∠PCF=∠D=60° ， ∴ ， S= ；
（2）当0<t≤2时，t=2时，S有最大值4 ； 当 时， ， t=3时，S有最大值 ， 综上所述，S的最大值为 ；
（3）当0<t≤2时，△CPQ不是等腰三角形，∴不存在符合条件的菱形 当2<t≤4时，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4， ∴当t=4时，△CPQ是等腰三角形， 即当t=4时，以△CPQ一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形。