Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2， BC= 2 ，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2， BC= 2 ，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．（1）求证：PC ∥ 平面EBD；（2）求三棱锥P-EBD的体积．

Answer 1

（1）证明：在矩形ABCD中，连接AC，设AC、BD交点为O，则O是AC中点． 又E是PA中点，所以EO是△PAC的中位线，所以PC ∥ EO…（3分） 又EO?平面EBD，PC?平面EBD． 所以PC ∥ 平面EBD…（6分） （2）取AB中点H，则由PA=PB，得PH⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB， 所以PH⊥平面ABCD．…．．（8分） 取AH中点F，由E是PA中点，得EF ∥ PH，所以EF⊥平面ABCD． ∵ V P-EBD = V P-ABD - V E-ABD = 1 3 S △ABD ?PH- 1 3 S △ABD ?EF ， 由题意可求得：S △ABD = 2 ，PH= 3 ，EF= 3 2 ，…．．（10分） 则 V P-EBD = 1 3 × 2 × 3 - 1 3 × 2 × 3 2 = 6 6 ．…．．（12分）