Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（1）求f（x）的解析

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（1）求f（x）的解析式；（2）已知k的取值范围为[ ，+∞），则是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）为偶函数， ∴f（﹣x+1）=f（x+1）， 即a（﹣x+1） 2 +b（﹣x+1）=a（x+1） 2 +b（x+1）恒成立， 即（2a+b）x=0恒成立， ∴2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∴f（x）=ax 2 ﹣2ax， ∵函数f（x）的图象与直线y=x相切， ∴二次方程ax 2 ﹣（2a+1）x=0有两相等实数根， ∴△=（2a+1） 2 ﹣4a×0=0， ∴a= ， 即有f（x）=﹣ x 2 +x （2）∵f（x）=﹣ （x﹣1） 2 + ≤ ， ∴[km，kn] （﹣∞， ]， ∴kn≤ ，又k≥ ， ∴n≤ ≤ ， 又[m，n] （﹣∞，1]，f（x）在[m，n]上是单调增函数， ∴ 即 即m，n为方程﹣ x2+x=kx的两根， 解得 =0，x 2 =2﹣2k． ∵m＜n且k≥ ． 故当 ≤k＜1时，[m，n]=[0，2﹣2k]； 当k＞1时，[m，n]=[2﹣2k，0]；   当k=1时，[m，n]不存在