Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2．（1）若f(1)＝0，且B?C＝π3

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2．（1）若f(1)＝0，且B?C＝π3，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得：f（1）=0，
∴a²-（a²-b²）-4c²=0，
∴b²=4c²，即b=2c，
∴根据正弦定理可得：sinB=2sinC．
又B?C＝

π

3

，可得sin(C+

π

3

)＝2sinC，
∴sinC?cos

π

3

+cosC?sin

π

3

＝2sinC，
∴

3

2

sinC?

3

2

cosC＝0，
∴sin(C?

π

6

)＝0．
又?

π

6

＜C?

π

6

＜

5π

6

，
∴C＝

π

6

．
（2）若f（2）=0，则4a²-2（a²-b²）-4c²=0，
∴a²+b²=2c²，
∴根据余弦定理可得：cosC＝

a2+b2?c2

2ab

＝

c2

2ab

．
又2c²=a²+b²≥2ab，
∴ab≤c²．
∴cosC≥

1

2

∴0＜C≤

π

3

．