Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若a＞b＞c且f（1）=0，（1）证明f（x）的图象与x轴有两个交点；（2）证明

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若a＞b＞c且f（1）=0，（1）证明f（x）的图象与x轴有两个交点；（2）证明函数f（x）的一个零点小于?12；（3）若f（m）=-a，试判断f（m+3）的符号，并证明你的结论．

Answer 1

由f（1）=0得a+b+c=0，即b=-a-c
（1）证明：因为a＞b＞c，所以△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²＞0
所以f（x）的图象与x轴有两个交点．
（2）证明：由b=-a-c，a＞b＞c得a＞-a-c＞c且a＞0，所以有a+2c＜0，（7分）
所以f(?

1

2

)＝

3

4

(a+2c)＜0，而抛物线f（x）开口向上，所以函数f（x）必有一个零点小于?

1

2

．
（3）设f（x）=0的根为x₁，x₂，（x₁＜x₂）；
则|x1?x2|＝

b2?4ac

|a|

＝

(?a?c)2?4ac

a

=

( c a )2?2? c a +1

＝|

c

a

?1|；
又∵0＝a+b+c＞a+2c?

c

a

＜?

1

2

，0＝a+b+c＜2a+c?

c

a

＞?2，∴?2＜

c

a

＜?

1

2

．∴|x1?x2|＝|

c

a

?1|＜3．
又f（m）=-a＜0，∴x₁＜m＜x₂?m+3＞x₂?f（m+3）＞f（x₂）=0．