Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（1）解不等式f（x）≤4（2）若不等式f（x）+a≥0解集为R，求实数a的取值范

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（1）解不等式f（x）≤4（2）若不等式f（x）+a≥0解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）①当x＜-

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时，2x+1与x-3都是负数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（-2x-1）-（3-x）=-x-4．
此时f（x）≤4即-x-4≤4，解之得-8≤x＜-

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；
②当-

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≤x≤3时，2x+1是正数而x-3都是负数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（2x+1）-（3-x）=3x-2．
此时f（x）≤4即3x-2≤4，解之得-

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≤x≤2；
③当x＞3时，段颂2x+1与x-3都是正数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（2x+1）-（x-3）=x+4．
此时f（x）≤4即x+4≤4，解集为空集，
综上所述，不等式f（x）≤4的解集是{x|-8≤x≤2}．
（2）由（1）的计算可得f（x）=

?x?4，    (x＜? 1 2 ) 3x?2，          (? 1 2 ≤x≤3) x+4，            (x＞3)

，
根据一次函数的单调性，可得f（x）在（-∞，-

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）上为减函数，
在（-

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，3）上为增函数且在（3，+∞）上为增函数，
∴f（x）的最小值为f（-

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）=-

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．
∵不等式f（x）+a≥0解集为R，
∴不等式f（x）≥-a恒成立，即[f（x）]_min≥-a，
可得弊圆-

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≥-a，解之得a≥

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，
∴满足不等式f（x）+a≥0解集为R的实数a的取值范围为[

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，+∞）．握卜郑