Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（1）解不等式f（x）≤4（2）若不等式f（x）+a≥0解集为R，求实数a的取值范

已知函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（1）解不等式f（x）≤4（2）若不等式f（x）+a≥0解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）①当x＜-

1

2

时，2x+1与x-3都是负数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（-2x-1）-（3-x）=-x-4．
此时f（x）≤4即-x-4≤4，解之得-8≤x＜-

1

2

；
②当-

1

2

≤x≤3时，2x+1是正数而x-3都是负数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（2x+1）-（3-x）=3x-2．
此时f（x）≤4即3x-2≤4，解之得-

1

2

≤x≤2；
③当x＞3时，2x+1与x-3都是正数，
∴f（x）=|2x+1|-|x-3|=（2x+1）-（x-3）=x+4．
此时f（x）≤4即x+4≤4，解集为空集，
综上所述，不等式f（x）≤4的解集是{x|-8≤x≤2}．
（2）由（1）的计算可得f（x）=

?x?4，    (x＜? 1 2 ) 3x?2，          (? 1 2 ≤x≤3) x+4，            (x＞3)

，
根据一次函数的单调性，可得f（x）在（-∞，-

1

2

）上为减函数，
在（-

1

2

，3）上为增函数且在（3，+∞）上为增函数，
∴f（x）的最小值为f（-

1

2

）=-

7

2

．
∵不等式f（x）+a≥0解集为R，
∴不等式f（x）≥-a恒成立，即[f（x）]_min≥-a，
可得-

7

2

≥-a，解之得a≥

7

2

，
∴满足不等式f（x）+a≥0解集为R的实数a的取值范围为[

7

2

，+∞）．