Question

燕尾定理逆定理成立吗？

就类似于 S三角形xxx/S三角形xxx=S三角形xxx/S三角形xxx 所以三条直线交于一点？

Answer 1

证法1

下面的是第一种方法：利用分比性质(若a/b=c/d，则（a-b）/b=（c-d）/d,[1] b≠0，d≠0,）[2]
(注：∵（a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,
(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,
a/b=c/d
∴（a-b）/b=（c-d）/d
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD
同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD
利用分比性质，得
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD
即S△AOB：S△AOC=BD：CD
命题得证。（由此可得：若X：Y=a：b，X1：Y1=a：b；则（X±X1）：（Y±Y1）=a：b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1）
证法2
下面的是第二种方法：相似三角形法
证法1图
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE 证明：
⑽交AC于点N；
过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD
∴MO：BD=NO：CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF
∴PO：BF=QO：AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）
∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE
∴MR：AE=PR：CE
∵MN∥BC，PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）
∴AE=CE
命题得证。
证法3
下面的是第三种方法：面积法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，
∵点D是BC的中点，点F是AB的中点
∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC（绿） = S△AOB（红）
∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
即S△AOC（绿） = S△BOC（蓝）
∴S△AOB（红） = S△BOC（蓝）
∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB
∴S△AOE:S△AOB（红） = S△COE:S△BOC（蓝）
∵S△AOB（红） = S△BOC（蓝）
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE
命题得证。
证法4
下面的是第四种方法：中位线法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，延长OE到点G，使OG=OB。
∵OG=OB
∴点O是BG的中点
又∵点D是BC的中点
∴OD是△BGC的一条中位线
∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点
∴OF是△BGA的一条中位线
∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG
∴四边形AOCG是平行四边形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE
命题得证。
证法5：因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证

2推广编辑
四边形ABCD（不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E

则有BE ：DE=S△ABC ：S△ADC
证明：∵S△ABC=S△ABE+S△BEC
S△ADC=S△AED+S△CED.
又∵S△ABE：S△AED=S△BEC：S△CED=BE：ED（∵高相等）. ∴S△ABE+S△BEC：S△AED+S△CED=S△ABC ：S△ADC=BE:ED
此定理是面积法最重要的定理之一.