Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.求证：（1）

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.求证：（1） CG=BH；（2）FC 2 =BF·GF；（3） .

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Answer 1

(1)、 (2)、 (3) 证明见解析

证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，CG⊥BF，∴CG⊥BF. ∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90 0 , ∠CBG+∠BCG=90 0 , ∠BAH+∠ABH=90 0 , ∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG。 又∵AB=BC，∴△ABH≌△BCG（ASA）。∴CG=BH。 （2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90 0 ，∴△CFG∽△BFC。 ∴ ，即FC 2 =BF·GF。 （3）∵∠CBG=∠FBC，∠CGB=∠FCB =90 0 ，∴△CBG∽△FBC。 ∴ ，即BC 2 =BF·BG。 ∵AB=BC，∴AB 2 =BF·BG。 ∴ ，即 。 （1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论。 （2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论。 （3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△CBG∽△FBC，利用相似比得出BC 2 =BF·BG，即AB 2 =BF·BG，结合（2）的结论求比即可。