Question

（2012?日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交

（2012?日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：（1）CG=BH；（2）FC2=BF?GF；（3）FC2AB2=GFGB．

Answer 1

证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG=BH； 
     
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴

FC

BF

=

GF

FC

，
即FC²=BF?GF；    
             
（3）同（2）可知，BC²=BG?BF，
∵AB=BC，
∴AB²=BG?BF，
∴

FC2

BC2

=

FG?BF

BG?BF

=

FG

BG

，
即

FC2

AB2

=

GF

GB

．