Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=BB1=2，AB＝22，E、F分别是AB和BB1的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面A1D1E

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=BB1=2，AB＝22，E、F分别是AB和BB1的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面A1D1E；（Ⅱ）求三棱锥E-FC1D1的体积VE?FC1D1．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁⊥面AB₁，EF?面AB₁，
∴A₁D₁⊥EF．
又由已知：AE=

2

，BF=1，AA₁=2，BE=

2

，
∴

AE

BF

＝

AA1

BE

＝

2

，
又∠A₁AE=∠EBF=90°，
∴Rt△AA₁E∽Rt△BEF，
∴∠AEA₁+∠BEF=∠AEA₁+∠AA1E＝

π

2

．
∴A₁E⊥EF，又A₁E∩A₁D₁=A₁，
∴EF⊥平面A₁D₁E．
（Ⅱ）∵AB∥C₁D₁，AB?面FC₁D₁，C₁D₁?面FC₁D₁，
∴AB∥面FC₁D₁，
∴VE?FC1D1＝VB?FC1D1＝

1

3

×

1

2

×1×2×2

2

＝

2 2

3

．