Question

已知函数f（x）=lnx+ax2+bx．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=2x-1，求a，b的值；（2）

已知函数f（x）=lnx+ax2+bx．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=2x-1，求a，b的值；（2）若2a+b+1=0，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）f′(x)＝

1

x

+2ax+b，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=2x-1，
∴f′（1）=2，f（1）=2×1-1=1=a+b，
联立解得a=0，b=1．
（2）∵2a+b+1=0，
∴b=-1-2a，
∴f′(x)＝

1

x

+2ax?1?2a=

2ax2?(1+2a)x+1

x

=

(2ax?1)(x?1)

x

．（x＞0）．
①当a=0时，f′(x)＝

1?x

x

，则函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
②当a≠0时，若

1

2a

＞1，则由f′（x）＞0，
解得x＞

1

2a

或0＜x＜1，此时函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得1＜x＜

1

2a

，此时函数f（x）单调递减．
若a＜0，则2ax-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
若0＜

1

2a

＜1，则由f′（x）＞0，
解得0＜x＜

1

2a

或x＞1，此时函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得

1

2a

＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．
若

1

2a

＝1，此时f′(x)＝

(x?1)2

x

≥0，函数f（x）在R上单调递增．