Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c+lnx（a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x-1．（Ⅰ）试用a

已知函数f（x）=ax2+bx+c+lnx（a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x-1．（Ⅰ）试用a表示b、c；（Ⅱ）讨论f（x）的定义域上的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=2ax+b+

1

x

，∴f′（1）=2a+b+1，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x-1，∴2a+b+1=1，f（1）=a+b+c=0，∴b=-2a，c=a
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=2ax-2a+

1

x

=

2ax2?2ax+1

x

＝

2a(x? 1 2 )2+1? a 2

x

（x＞0），
①当a＜0时，1-

a

2

＞0，令f′（x）=0得x1＝

1

2

(1?

1? 2 a

)＜0，x2＝

1

2

(1+

1? 2 a

)＞0，
∴当x∈(0，

1

2

(1+

1? 2 a

))时，f′(x)＞0，f（x）单调递增，当x∈(

1

2

(1+

1? 2 a

)，+∞)时，f′(x)＜0，f（x）单调递减；
②当0＜a≤2时，1-

a

2

≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞2时，1-

a

2

＜0，令f′（x）=0得x1＝

1

2

(1?

1? 2 a

)＞0，x2＝

1

2

(1+

1? 2 a

)，
当x∈(0，

1

2

(1?

1? 2 a

))时，f′(x)＞0，f（x）单调递增，
当x∈(

1

2

(1?

1? 2 a

)，

1

2

(1+

1? 2 a

))时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈(

1

2

(1+

1? 2 a

)，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．