Question

已知直线l经过直线l1：2x+y-5=0与l2：x-2y=0的交点，且点P（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程

已知直线l经过直线l1：2x+y-5=0与l2：x-2y=0的交点，且点P（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．

Answer 1

由题知

2x+y?5＝0 x?2y＝0

，解得

x＝2 y＝1

，
即直线l₁：2x+y-5=0与l₂：x-2y=0的交点坐标为（2，1），（2分）
设直线l的方程为y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0．
所以点A（5，0）到直线l的距离d=

|5k+1?2k|

k2+1

=3，解得k=

4

3

，（6分）
所以直线l的方程为4x-3y-5=0，（7分）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，经验证满足题意．（9分）
故直线l的方程为x-2=0或4x-3y-5=0．（10分）

Answer 2

设直线l的方程为ax+by+c=0。由于直线l经过直线l1和l2的交点，因此它们满足方程组：

2x+y-5=0

x-2y=0

解得交点为(2,1)。

又因为点P到直线l的距离为3，可以得到：

|5a+b+c|/√(a^2+b^2)=3

将点(2,1)代入直线方程ax+by+c=0，得到：

2a+b+c=0

将此式带入上式，消去c得到：

|5a+b|/√(a^2+b^2)=3

将上式两边平方，得到：

25a^2+b^2+10ab=9a^2+9b^2

化简得：

16a^2-ab-16b^2=0

解取a/b=4或a/b=-1/4。将a/b=4带入2a+b+c=0，解得c=-3。因此直线l的方程为4x+y-3=0。

如果a/b=-1/4，同理可得直线方程为x-4y+17=0。