Question

数学分析：讨论反常积分的敛散性的题目

Answer 1

显然，被积函数有n个瑕点，还有两边无穷积分。
由于a1……an互不相同，故在瑕点ai附近，收敛当且仅当pi<1；
在正负无穷处，x的最高次项系数为(p1+……+pn)，所以收敛当且仅当Σpi>1
所以该积分收敛等价于任取i，pi<1，且Σpi>1

追问

于a1……an互不相同，故在瑕点ai附近，收敛当且仅当pi<1；？这里是怎么得出的呀？为什么在附近收敛？

追答

由于ai互不相同，所以在ai附近，一定存在一个小邻域不包含其他的aj(j≠i)，这个小邻域内由连续性其他项都有界，所以积分是否收敛只与1/(x-ai)^pi有关，这么说比较严谨……