Question

已知A,B,C为圆O上的三点，若向量AO=1/3(AB+AC)，则向量AB与向量BC的夹角是？

Answer 1

建立坐标系，设圆心为O，半径为1，把点A放在（0,-1）处，设点B，C分别为（cosα,sinα）(cosβ,sinβ) AO=(0,1)
AB=(cosα,sinα)-(0,-1)=(cosα,sinα+1)
AC=(cosβ,sinβ)-(0,-1)=(cosβ,sinβ+1)
(0，1)=1/3[（cosα,sinα+1）+（cosβ,sinβ+1）]
=1/3(cosα+cosβ, sinα+sinβ+2)
Cosα+cosβ=0, cosα=-cosβ=cos(π-β), α=π-β
Sinα+sinβ+2=3, sin(π-β)+sinβ+2=3, sinβ=1/2, β=π/6, α=5π/6，
点C（√3/2,1/2）,B(-√3/2,1/2)
∠AOC=120°,所以∠OAC=∠OAB=30°,ABC是一个正三角形，所以夹角为120°（注意是外角）