已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形B
已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在B...
已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
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| 解：（1）如图①， 设正方形BEFG的边长为x， 则BE=FG=BG=x ∵AB=3，BC=6， ∴AG=AB﹣BG=3﹣x， ∵GF∥BE， ∴△AGF∽△ABC， ∴  ，即  ，解得：x=2， 即BE=2； （2）存在满足条件的t， 理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H， 则BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t， 在Rt△B′ME中，B′M 2 =ME 2 +B?E 2 =2 2 +（2﹣  t） 2 = t 2 ﹣2t+8，∵EF∥AB， ∴△MEC∽△ABC， ∴  ，即 ，∴ME=2﹣  t，在Rt△DHB′中，B′D 2 =DH 2 +B′H 2 =3 2 +（t﹣2） 2 =t 2 ﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N， 则MN=HE=t，NH=ME=2﹣  t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣  t）= t+1，在Rt△DMN中，DM 2 =DN  2 +MN 2 = t 2 +t+1（Ⅰ）若∠B′MD=90°，则B′D 2 =B′M 2 +DM 2 ， 即  t 2 +t+1=（ t 2 ﹣2t+8）+（t 2 ﹣4t+13），解得：t=  ，（Ⅱ）若∠B′DM=90°，则B′M 2 =B′D 2 +DM 2 ，  即：  t 2 ﹣2t+8=（t 2 ﹣4t+13）+（ t 2 +t+1），解得：t 1 =﹣3+  ，t 2 =﹣3﹣ （舍去），∴t=﹣3+  ；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M 2 =B′D 2 +DM 2 ，  即：  t 2 ﹣2t+8=（t 2 ﹣4t+13）+（ t 2 +t+1），此方程无解， 综上所述，当t=  或﹣3+ 时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③  ，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4， ∴CE=  ，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣  = ，∵ME=2﹣  t，∴FM=  t，当0≤t≤  时，S=S △FMN =
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