Question

设函数f(x)＝(x 2 ＋ax＋b)e x (x∈R)．(1)若a＝2，b＝－2，求函数f(x)的极大值；(2)若x＝1是函数f(x)的

设函数f(x)＝(x 2 ＋ax＋b)e x (x∈R)．(1)若a＝2，b＝－2，求函数f(x)的极大值；(2)若x＝1是函数f(x)的一个极值点．①试用a表示b；②设a＞0，函数g(x)＝(a 2 ＋14)e x ＋4 .若?ξ 1 、ξ 2 ∈[0，4]，使得|f(ξ 1 )－g(ξ 2 )|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1） （2）①b＝－3－2a②1－ ＜a＜1＋ .

(1)∵f′(x)＝(2x＋a)e x ＋(x 2 ＋ax＋b)e x ＝[x 2 ＋(2＋a)x＋(a＋b)]e x ， 当a＝2，b＝－2时，f(x)＝(x 2 ＋2x－2)e x ， 则f′(x)＝(x 2 ＋4x)e x ， 令f′(x)＝0得(x 2 ＋4x)e x ＝0， ∵e x ≠0,∴x 2 ＋4x＝0，解得x＝－4或x＝0， 列表如下： x (－∞，－4) －4 (－4，0) 0 (0，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? ∴当x＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x) 极大值 ＝ . (2)①由(1)知f′(x)＝[x 2 ＋(2＋a)x＋(a＋b)]e x . ∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0， 即e[1＋(2＋a)＋(a＋b)]＝0，解得b＝－3－2a. ②由①知f′(x)＝e x [x 2 ＋(2＋a)x＋(－3－a)]＝e x (x－1)[x＋(3＋a)]， 当a＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增， ∴函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a＋2)e. ∵f(0)＝b＝－3－2a＜0，f(4)＝(2a＋13)e 4 ＞0， ∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]， 即[－(a＋2)e，(2a＋13)e 4 ]． 又g(x)＝(a 2 ＋14)e x ＋4 在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a 2 ＋14)e 4 ，(a 2 ＋14)e 8 ]， ∴(a 2 ＋14)e 4 －(2a＋13)e 4 ＝(a 2 －2a＋1)e 4 ＝(a－1) 2 e 4 ≥0， ∴存在ξ 1 、ξ 2 ∈[0，4]使得|f(ξ 1 )－g(ξ 2 )|＜1成立只须(a 2 ＋14)e 4 －(2a＋13)e 4 ＜1 ?(a－1) 2 e 4 ＜1 (a－1) 2 ＜ ? 1－ ＜a＜1＋ .