Question

已知定义在实数集R上的函数y= 满足条件：对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求f(0)；(2) 求证

已知定义在实数集R上的函数y= 满足条件：对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求f(0)；(2) 求证： 是奇函数；(3) 若 时， ，求 在 上的值域.

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Answer 1

（1）f(0)=0；(2)证明见解析；(3)证明见解析；值域[-4，2]。

本题考点是抽象函数及其运用，考查灵活赋值求函数值以及运用恒等式灵活变形证明函数的单调性，利用复合函数的单调性判断方程的根的个数，本题涉及到的考点较多，知识性与技巧性都很强，是知识完善结合的一个好题． （1）令令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得． （2）通过赋值法可知函数的奇偶性 （3）根据定义法证明函数的单调性然后，利用单调性得到值域。 （1）f(0)=0；3分 (2)证明略；9分 (3)证明单调性 13分 值域[-4，2]  15分