Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：AC2=AB?AD．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接OC，如下图所示：
因为OA=OC，
所以∠OCA=∠OAC．（2分）
又因为AD⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因为AC平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，（4分）
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切线．（6分）
（Ⅱ）连接BC，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因为CE是⊙O的切线，
所以∠B=∠ACD，（8分）
所以△ABC∽△ACD，
所以

AC

AB

＝

AD

AC

，
即AC²=AB?AD．（10分）