Question

已知整数x1，x2，x3，…，x2008满足：①-1≤xn≤2，n=1，2，…，2008；②x1+x2+…+x2008=2008；③x12+x22

已知整数x1，x2，x3，…，x2008满足：①-1≤xn≤2，n=1，2，…，2008；②x1+x2+…+x2008=2008；③x12+x22+…+x20082=2008．则x13+x23+…+x20083的最小值为______，最大值为______．

Answer 1

设x₁，x₂，…，x₂₀₀₈中有q个0，r个-1，s个1，t个2．（2分）
则

-r+s+2t=200 r+s+4t=2008

①（5分）
两式相加得s+3t=1104．故0≤t≤368．（10分）
由x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³=-r+s+8t=6t+200，（12分）
得200≤x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³≤6×368+200=2408．（15分）
由方程组①知：当t=0，s=1104，r=904时，
x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最小值200； （17分）
当t=368，s=0，r=536时，
x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最大值2408．（20分）

Answer 2

答案为2408