Question

（2009?天河区一模）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，xn，…，x2008；y1

（2009?天河区一模）根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，xn，…，x2008；y1，y2，…，yn，…，y2008．（1）求数列xn的通项公式；（2）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列yn的一个通项公式，并证明你的结论；（3）求zn=x1y1+x2y2+…+xnyn（x∈N*，n≤2008）．

Answer 1

（1）由框图，知数列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2
∴x_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*，n≤2008）（4分）
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80
由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）．
证明：由框图，知数列y_n中，y_n+1=3y_n+2，
∴y_n+1+1=3（y_n+1）
∴

yn+1+1

yn+1

＝3，y1+1＝3．
∴数列y_n+1是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴y_n+1=3ⁿ，
∴y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）；（9分）
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂++x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）++（2n-1）×（3ⁿ-1）
=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）
记S_n=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ①
则3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②，得-2S_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴++2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹?2Sn＝

3(1?3n)

1?3

?3?(2n?1)3n+1
∴S_n=（n-1）?3ⁿ⁺¹+3，
又1+3+5++2n-1=n²
∴z_n=（n-1）?3ⁿ⁺¹+3-n²（n∈N^*，n≤2008）．（14分）