Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为：x1，x2，…，xn，…，x2008；y1，y2，…，yn，…

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为：x1，x2，…，xn，…，x2008；y1，y2，…，yn，…，y2008．（1）①写出x1，x2，x3，x4，②求数列{xn}的通项公式xn；（2）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由程序框图可知：
x_n+1=x_n+2…（1分）
x₁=1，x₂=3，x₃=5，x₄=7…（4分）
∴{x_n}是首项为x₁=1公差为2的等差数列
∴x_n=1+（n-1）2=2n-1
即{x_n}的通项公式为x_n=2n-1…（7分）
（2）由程序框图可知y_n+1=3y_n+2…（8分）
∵y₁=2，∴y₂=8，y₃=26，y₄=80…（11分）
猜想y_n=3ⁿ-1，以下为证明…（12分）…
∵y_n+1=3y_n+2，∴y_n+1+1=3（y_n+1），
∴{y_n+1}是首项为y₁+1=3，公比为3
的等比数列，∴y_n+1=3ⁿ，∴y_n=3ⁿ-1．…（14分）