Question

已知㏒916=a,㏒25=b,求㏒102及㏒103的值(用a,b的代数式一表示)

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Answer 1

log（9）16=a，即9^a=16

（3²）^a=4²
（3^a）²=4²
3^a=4
所以log（3）4=a
即log（3）4=log（3）2×2=log（3）2+log（3）2=a
所以log（3）2=a/2
所以log（2）3=1÷a/2=2/a
①log（10）2

=lg2÷lg10
=lg2÷lg（2×5）
=lg2÷（lg2+lg5）
=lg2/（lg2+lg5）
=1/【（lg2+lg5）÷lg2】
=1/（1+lg5÷lg2）
=1/（1+lg（2）5）
=1/（1+b）
②log（10）3
=lg3÷lg10
=lg3÷lg（2×5）
=lg3÷（lg2+lg5）
=1/【（lg2+lg5）÷lg3】
=1/【log（3）2+log（3）5】
=1/【log（3）2+log（2）5÷log（2）3】
=1/【a/2+b÷2/a】
=1/【a/2+ab/2】
=2/（a+ab）

本题所用对数知识点：
（1）a^m=b，用对数表示为log（a）b=m（以a为底，b的对数为m）
（2）lga=b，表示以10为底，a的对数为b
（3）log（a）bc=log（a）b+log（a）c
（4）log（a）b/c=log（a）b-log（a）c
（5）log（a）b×log（b）a=1
（6）log（a）b=log（c）b÷log（c）a

Answer 2

㏒9（16）=a,log3(4)=a
㏒2（5）=b,

㏒10（2）=lg2/(lg2+lg5)=1/[1+log2(5)]=1/(1+b)
㏒10（3）=lg3/(lg2+lg5)
=1/[log3(2)+log3(5)]
=1/[1/2+log2(5)/log2(3)]
=1/[1/2+b*log3(2)]
=1/[1/2+b*a/2]
=2/(1+ab)