(2013?闵行区二模)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中
(2013?闵行区二模)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,联结AE,交边BC于点G.(1)求证...
(2013?闵行区二模)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,联结AE,交边BC于点G.(1)求证:四边形ABGD是平行四边形;(2)如果AD=2AB,求证:四边形DGEC是正方形.
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5个回答
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证明:(1)∵DE⊥BC,且F是DE的中点,
∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠B=∠DCF,AB=EC,
∴∠B=∠ECF,
∴AB∥EC,
又∵AB=EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BG=CG=
BC,
∵BC=2AD,
∴AD=BG,
又∵AD∥BG,
∴四边形ABGD是平行四边形;
(2)∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,
∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,
∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=
AB,即得CG=
DC=
DG,
∴DG2+DC2=CG2,
∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形.
∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠B=∠DCF,AB=EC,
∴∠B=∠ECF,
∴AB∥EC,
又∵AB=EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BG=CG=
1 |
2 |
∵BC=2AD,
∴AD=BG,
又∵AD∥BG,
∴四边形ABGD是平行四边形;
(2)∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,
∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,
∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=
2 |
2 |
2 |
∴DG2+DC2=CG2,
∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形.
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(1)证明△ABG和△CDG全等。
因为CG为DE的垂直平分线,得出∠DGC=∠CGE,
同时,对顶角相等,那么∠CGE=∠AGB,
故得出∠DGC=∠AGB。
因为梯形ABCD为等腰梯形,
那么可以得出结论:∠ABC=∠DCB及AB=CD。
判定三角形全等的条件:
两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
∠ABC=∠DCB,∠AGB=∠CGE及AB=CD,
可以判定△ABG全等于△DGC,
从而得出:BG=CG,G为BC中点。
因为BC=2AD,所以AD=BG=CG.
判定平行四边形的条件:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,
AD=BG且AD∥BG,所以四边形ABGD是平行四边形。
(2)对你第二个条件深表怀疑,AD=2AB,在相似三角形中AD=2GF,所以可以得出GF=AB,平行四边形中AB=DG,故得出DG=GF。但是△DFG为直角三角形,直角三角形中斜边是不可能等于直角边的。故无法证明结论。
希望对你有所帮助,若有疑问,请追问,若满意,请采纳一下^_^
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AD∥BC,F是DE的中点,
∴AG=GE,
DE⊥BC,
∴DE⊥AD,
∴DG=AG.
作AG'∥CD交BC于G',则AD=G'C,AG'=CD,
BC=2AD,AB=CD,
∴BG'=AD,
∴四边形ABG'D是平行四边形,
∴DG'=AB=CD=AG',
于是G'与G重合,
∴四边形ABGD是平行四边形。
(2)AD=√2AB,(改题了),
∴AG^2+GD^2=AD^2,
∴AG⊥DG,
易知GE∥=DC,GE=DG,
∴四边形DGEC是正方形.
∴AG=GE,
DE⊥BC,
∴DE⊥AD,
∴DG=AG.
作AG'∥CD交BC于G',则AD=G'C,AG'=CD,
BC=2AD,AB=CD,
∴BG'=AD,
∴四边形ABG'D是平行四边形,
∴DG'=AB=CD=AG',
于是G'与G重合,
∴四边形ABGD是平行四边形。
(2)AD=√2AB,(改题了),
∴AG^2+GD^2=AD^2,
∴AG⊥DG,
易知GE∥=DC,GE=DG,
∴四边形DGEC是正方形.
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2018-04-05 · 知道合伙人教育行家
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