Question

已知AB是抛物线y2=2Px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求证y1y2=-p2，x1x2=p24；（2

已知AB是抛物线y2=2Px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求证y1y2=-p2，x1x2=p24；（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：1m+1n＝2p．

Answer 1

证明（1）：因为抛物线y²=2px的焦点为（

p

2

，0）所以过焦点的弦为y=k（x-

p

2

），即x=

y

k

+

p

2

与y²=2px联立有：y²-

2py

k

-p²=0，所以y₁y₂=-p²
同理可得x₁x₂=

p2

4

当直线斜率不存在时，结论也成立．
原式得证．
（2）：①设AB：y=k（x-

p

2

），直线方程与抛物线方程联立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0．
∴x₁+x₂=

k2p+2p

k2

．
又由抛物线定义可得
m+n=x₁+x₂+p=

2k2p+2p

k2

=

2p(k2+1)

k2

，
m?n=（x₁+

p

2

）（x₂+

p

2

）=

p 2(k2+1)

k2

，
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．
②若k不存在，则AB方程为x=-

p

2

，显然符合本题．
综合①②有

1

m

+

1

n

＝

2

p

．