Question

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF．（1）求证：

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF．（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需要证明）①当∠A=______时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD、△BCE、△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=AE，AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠BCA=∠FCE=60°-∠ACF，
在△BCA和△FCE中，

BC＝CF ∠BCA＝∠FCE AC＝CE

，
∴△BCA≌△FCE（SAS），
∴EF=BA=AD，
同理DF=AC=AE，
∴四边形DAEF是平行四边形；

（2）解：①当∠A=150°时，四边形DAEF是矩形，
理由是：∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是矩形，
故答案为：=150°；

②当△ABC满足AB=AC≠BC时，四边形DAEF是菱形，
理由是：由（1）知：EF=BA=AD，DF=AC=AE，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴四边形DAEF是菱形，
故答案为：AB=AC≠BC．