Question

设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足xOA+yOB+zOC=0，（x2+y2+z2≠0），则“xyz=0”是“点O在△A

设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足xOA+yOB+zOC=0，（x2+y2+z2≠0），则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

Answer 1

∵O为△ABC所在平面内一点．实数x、y、z满足x

OA

+y

OB

+z

OC

=0（x²+y²+z²≠0），
∴x

OA

+y

OB

=-z

OC

，
若xyz=0”则x、y、z中只能有一个为0，（否则若x=y=0，可推出z=0，这与x²+y²+z²≠0矛盾）
假设x=0（y、z不为0），可得y

OB

=-z

OC

，∴

OB

＝?

z

y

OC

，
∴向量

OB

和

OC

共线，∴O只能在△ABC边BC上；
若点O在△ABC的边所在直线上，假设在边AB上，说明向量

OB

和

OA

共线，
∴z=0，
∴xyz=0，
∴“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的充要条件；
故选C．