Question

请教一个线性代数问题

YA=E有解，我看解答中就直接由这一个条件推出（YA)T=ET有解，其中T代表矩阵的转置，有谁能跟我讲解一下这是为什么呢，麻烦讲的清楚一点。

Answer 1

YA=E有解 -> R(A)=R(A的增广矩阵)
因为取转置后秩不变所以： R(AT)=R(A的增广矩阵T)
所以;（YA)T=ET有解

Answer 2

提示:
方法1.
令A是e1，e2，……en表为a1，a2，……an线性组合系数矩阵.
e1，e2，……en线性无关,故以A为系数矩阵得齐次线性方程只有零解.
可推得a1，a2，……an线性无关
方法2.
以L(X)表示由向量组X生成的线性子空间.
e1，e2，……en表为a1，a2，……an线性组合
=>
L(e1，e2，……en)≤L(a1，a2，……an)(≤表示子空间)
从而n=dim(L(e1，e2，……en))≤dim(L(a1，a2，……an))≤n
进一步,a1，a2，……an线性无关
还有其它方法.

Answer 3

证明:假设存在常数k1，k2，。。。ks使得
k1Aa1+k2Aa2+。。。+ksAas=0，进而有
A(k1a1+k2a2+。。。+ksas)=0。
由于R(A)=n，所以k1a1+k2a2+。。。+ksas=0.
又由于a1,a2,...as线性无关，所以
k1=k2=。。。=ks=0.从而
Aa1,Aa2,...Aas线性无关。得证。