Question

定义在(0，+∞)上的可导函数f(x)满足xf'(x)-f(x)=x，且f(1)=1，现给出关于函数f(x)的下列结论:

定义在(0，+∞)上的可导函数f(x)满足xf'(x)-f(x)=x，且f(1)=1，现给出关于函数f(x)的下列结论:
①函数f(x)在(1/e，+∞)上单调递增；②函数f(x)的最小值为-1/e^2；
③函数f(x)有且只有一个零点；④对于任意x>0，都有f(x)≤x^2.
其中正确结论有几个？为什么？

Answer 1

等式化为：
[xf'(x)-f(x)]/x²=1/x
即[f(x)/x]'=1/x
积分： f(x)/x=lnx+C
得：f(x)=xlnx+Cx
代入f(1)=C=1,得：f(x)=xlnx+x=x(lnx+1)
故f'(x)=lnx+2，得极值点为x=1/e²，
故函数在x>1/e²单调增，从而在x>1/e上也单调增，即1正确；
最小值为f(1/e²)=-1/e², 即2正确；
由f(x)=0, 得：x=1/e, 是唯一零点，即3正确；
记h(x)=f(x)-x²=x(lnx+1-x)，令g(x)=lnx+1-x, 则g'(x)=1/x-1=0得：x=1为g(x)的极大值点，而g(1)=0,即g(x)<=0, 从而有h(x)=xg(x)<=0, 即4正确。
以上4个都正确。