Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE．

求证：DE与圆O相切；
要求要用三种方法，可添加辅助线，可标∠1∠2∠3，写法完整，最好有标图

Answer 1

一、

连接OD，OD为三角形ABC中位线，OD与AC平行，

所以，∠4=∠3

圆O内，OA=OE，所以，∠1=∠2

而作为三角形AOE的外角，∠3+∠4=∠1+∠2

所以，∠3=∠4

OB=OE

共用OD

三角形OBD与三角形OED全等，

∠OED=∠ABC=90°

所以，OE⊥DE

所以，DE为圆O切线。

二、

分别连接OD、BE，设OD、BE交于点F，

OD为中位线，则F为BE中点，

所以，OF垂直平分BE，

所以，四边形OBDE为筝形，

∠OED=∠ABC=90°

所以，OE⊥DE

所以，DE为圆O切线。

三、

过点D作AC的垂线，垂足为F，

直角三角形ABC与直角三角形DFC相似，

所以，CD/AC=FC/BC

由于D为BC中点，即，DC=BC/2

所以，BC*BC=2*FC*AC

已知，BC是圆O的切线，

由割线定理有，BC*BC=AC*CE

所以，CE=2*FC

即，F是CE的中点，

所以，∠1=∠2

又，易知，∠3=∠4，且∠2+∠3=90°，

所以，∠1+∠4=90°

∠OED=90°

所以，OE⊥DE

所以，DE为圆O切线

追问

第三部我没看懂
CD/AC=FC/BC是什么？

而且DE算是垂直吧。
BC*BC=2*FC*AC这又是什么
整个第三个方法全部不懂

追答

过点D作AC的垂线，垂足为F，

共用锐角∠2，

所以，RT△ABC∽RT△DFC，则对应边成比例，

所以，CD/AC=FC/BC

已知，CD=BC/2，代入上式得，BC/(2*AC)=FC/BC

所以，BC*BC=2*AC*FC...................................................(1)

已知，BC是圆O的切线段，且，直线AC交圆O于近点E、远点C（相对于点C），

由割线定理有，BC*BC=AC*CE.......................................(2)

比较(1)、(2)式可知，

CE=2*FC

所以，F是CE的中点，

所以，……