Question

证明海伦公式，不用图上的方法，谢谢

Answer 1

可以利用一个关於馀切的恒等式以及三角形面积与内切圆半径的公式来证明

如果任意三个角α+β+γ=π/2,那麼cotα+cotβ+cotγ=cotαcotβcotγ

设△ABC的内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则S=(a+b+c)r/2=pr

如图,作△ABC内切圆I,并向三边作垂线,根据切线长定理

AR=c-BR

=c-BP

=c-(a-CP)

=c-a+CQ

=c-a+b-AQ

=c-a+b-AR

2AR=a+b+c-2a,AR=p-a,其中p是半周长,2p=a+b+c

∴cotα=(p-a)/r

同理,cotβ=(p-b)/r,cotγ=(p-c)/r

∵α+β+γ=π/2,∴(p-a)/r+(p-b)/r+(p-c)/r=(p-a)(p-b)(p-c)/r³

3p-(a+b+c)=(p-a)(p-b)(p-c)/r²

pr²=(p-a)(p-b)(p-c)

(pr)²=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴pr=S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Answer 2

可以用勾股定理证明

过程直接看链接吧 http://baike.baidu.com/view/1279.htm