Question

已知x2/a2+y2/b2=1,A为上顶点，F1,F2为左右焦点，AF2的中垂线交椭圆于B，AF1也经过B点,求椭圆离心率

Answer 1

AF2的中点(c/2,b/2) ,斜率=c/b
AF2方程: y-b/2=c/b(x-c/2)..................(1)
AF1方程: y=b/c*x+b...............................(2)
解(1)(2)得
x=ca^2/2(c^2-b^2)
y=(3bc^2-b^3)/2(c^2-b^2)
B[ca^2/2(c^2-b^2),(3bc^2-b^3)/2(c^2-b^2)]
把B代入椭圆方程得:
a^2c^2+(3c^2-b^2)^2=4(c^2-b^2)^2
a^2c^2+(4c^2-a^2)^2=4(2c^2-a^2)^2
整理得:
3a^4-9a^2c^2=0
a^2=3c^2
(c/a)^2=1/3
e^2=1/3
e=√3/3