Question

三次函数的图像和性质

Answer 1

三次函数（）f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解。
性质一单调性图1用判别式判断函数图象以a>0为例，如图1，记Δ=b2_3ac为三次函数图象的判别式，则当Δ_0时，f(x)为R上的单调递增函数；当Δ>0时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值。
性质二对称性。图2图象的对称性，如图2，f(x)的图象关于点P(_b3a,f(_b3a))对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称）反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为f(x)=α_(x_m)3+β_(x_m)+n,其中α≠0。
性质三切割线性质,图3切割线性质。如图3，设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT（P点不为切点），A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A、B点的横坐标。图4切割线性质推论一推论1设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN，切点分别为M、P，如图．则M点的横坐标平分P、N点的横坐标，如图4。
图5切割线性质
推论二，推论2设f(x)的极大值为M，方程f(x)=M的两根为x1、x2（x1①过区域I、III内的点作y=f(x)的切线，有且仅有三条；
②过区域II、IV内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有一条；
③过切线l或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有两条。