Question

聚点原理

Answer 1

聚点原理亦称外尔斯特拉斯定理，或波尔查诺-外尔斯特拉斯定理，刻画实数系R的连续性的常用命题之一。它断言：R(Rn或度量空间)的每个有界无穷子集至少有一个聚点。它是外尔斯特拉斯于1860年得到的，在他的证明中采用了波尔查诺首创的对分法。

证明:将E包含在中心位于原点，各边平行于坐标轴的正方形k内，若E没有聚点，则对于k中每一点z，存在这样一个邻域N(z, p) ,使得在这个邻域内只含E的有限个点，且这些邻域的全体将k复盖住，由有限复盖定理，在这些邻域中只要有限个邻域就将k复盖住(k当然是有界闭集)。这样一来，点集E也只有有限个点属于k，这与E为无穷点集而又完全包含在k内相矛盾。从而定理成立。