Question

求证：a的n加2次方加﹙a+1﹚的2n加1次方能被a的平方加a加1整除

Answer 1

利用归纳法证明
N=1时
a^(1+2)+(a+1)^(2*1+1)=a^3+(a+1)^3=(2a+1)[a^2- a(a+1)+(a+1)^2]
=(2a+1)(a^2+a+1)
可见能被a^2+a+1整除
假设N=n时,a^(n+2)+(a+1)^(2*n+1)能被a^2+a+1整除
那么当N=n+1时
a^[(n+1)+2]+(a+1)^[2*(n+1)+1]=a^(n+3)+(a+1)^(2*n+3)
=a*a^(n+2)+[(a+1)^2]*(a+1)^(2*n+1)
=a*a^(n+2)+(a^2+2a+1)*(a+1)^(2*n+1)
=a*a^(n+2)+(a^2)*(a+1)^(2*n+1)+2a*(a+1)^(2n+1)+(a+1)^(2n+1)
=[a*a^(n+2)+a*(a+1)^(2n+1)]+(a^2)*(a+1)^(2*n+1)+a*(a+1)^(2n+1)+(a+1)^(2n+1)
=[a*a^(n+2)+a*(a+1)^(2n+1)]+[(a+1)^(2*n+1)]*(a^2+a+1)
=a*[a^(n+2)+(a+1)^(2n+1)]+[(a+1)^(2*n+1)]*(a^2+a+1)
由于a^(n+2)+(a+1)^(2n+1)能被a^2+a+1整除,因此上式也能被a^2+a+1整除
因此N=n+1时,结果成立
因此a的n加2次方加﹙a+1﹚的2n加1次方能被a的平方加a加1整除
证明完毕