Question

已知椭圆和双曲线有公共的焦点F1F2,M是它们的一个交点,且MF1乘以MF2=0,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，

已知椭圆和双曲线有公共的焦点F1F2,M是它们的一个交点,且MF1乘以MF2=0,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则4e1²+e2²的最小值为？ps：答案是9/2，求过程

Answer 1

设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨设m>n
设椭圆,双曲线的长半轴,实半轴分别为a,a'
根据椭圆和双曲线定义
m+n=2a ① ,m-n=2a'②
∴①²+②²:
2m²+2n²=4a²+4a'²
m²+n²=2a²+2a'²
∵PF1●PF2=0,∴m²+n²=4c²
∴2a²+2a'²=4c²
∴1/e²1+1/e²2=2
∴4e²1+e²2
=1/2*(4e²1+e²2)(1/e²1+1/e²2)
=1/2(5+4e²1/e²2+e²2/e²1)
根据均值定理
4e²1/e²2+e²2/e²1≥2√4=4
∴1/2(5+4e²1/e²2+e²2/e²1)≥9/2
∴4e²1+e²2最小值为9/2