Question

求该微分方程满足初始条件的特解

Answer 1

y''=∫ lnx/x² dx
分部积分
=-∫ lnxd(1/x)
=-lnx/x＋∫1/xd(lnx)
=-lnx/x＋∫1/x²dx
=-lnx/x-1/x＋c1
x=1，y''=2
2=-1+C1
C1=3
所以
y''=-lnx/x-1/x+3
y'=∫-lnx/x-1/x +3 dx
=-∫lnxd(lnx)-lnx＋3x
=-ln²x/2-lnx＋3x＋c2
x=1，y'=1
1=3+C2
C2=-2
所以y'=-ln²x/2-lnx＋3x-2
y=∫-ln²x/2-lnx＋3x-2 dx
先算
∫ ln²x dx
分部积分
=xln²x - ∫ x(2lnx)(1/x) dx
=xln²x - 2∫ lnx dx
再分部积分
=xln²x - 2xlnx + 2∫ 1 dx
=xln²x - 2xlnx + 2x +C
再算∫lnxdx
分部积分
=xlnx-∫xd(lnx)
=xlnx-∫1dx
=xlnx-x+C
所以
y=∫-ln²x/2-lnx＋3x-2 dx
=-xln²x/2+xlnx-x-xlnx+x+3x²/2-2x+C3
=-xln²x/2+3x²/2-2x+C3
x=1时，y=0
0=3/2-2+C3
C3=1/2
所以y=-xln²x/2+3x²/2-2x+1/2