Question

在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC上,且BD=AE,求证,DE≥1/2BC

Answer 1

解 当D E两点在AB AC中点,则DE=1/2BC
当D点在AB中点和B点中间任一点,延长AB至点F,使D为AF中点 DA=DF ,然后作线FG平行于DE交BC于点M,交AC于点G,由中位线定理 DE=1/2FG
又AB=AC BD=AE 即AD=EC 所以DF=EC
做FH平行且等于BC,连接GH和CH,BFHC构成平行四边形,HC=BF,FH=BC,这样GF,GH FH构成一个三角形 AB=AC 角B=角C
GC=EC-EG=AD-EG=AD-AE=DF-BD=BF 又BF=HC 所以GC=HC 即角CGH=角CHG
角FGH=角A+角AFG-角CGH 角GHF=角A+角C-角CHG
所以角GHF-角FGH=角C-角AFG=角B-角AFG=角BMF大于或等于0
所以角所对应的边有FG大于或等于BC,所以DE=1/2FG大于或等于1/2BC,等于的情况就是D为AB中点,F点与B点重合
当点D在AB中点与A点间时,同样延长AC至F有同样的结果
综上所诉 DE大于或等于1/2BC
由于作图不便,过叙述过程过多,你只要把图作出来便一目了然