Question

如何理解赌徒谬误和大数定律的关系

Answer 1

赌徒谬误： 亦称为蒙地卡罗谬误，是一种错误的信念，以为随机序列中一个事件发生的机会率与之前发生的事件有关，即其发生的机会率会随着之前没有发生该事件的次数而上升。如重复抛一个公平硬币，而连续多次抛出反面朝上，赌徒可能错误地认为，下一次抛出正面的机会会较大。

大数定律： 通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然中包含着某种必然。

假设我们用一万张纸盖在一万个五千正五千反的硬币上，每次掀开一张纸，如果一直是正面，那么下一次是反面的概率越来越大，如果掀开五千次全是正，那么第五千零一次是反的概率是1，但是连续扔硬币一万次和我们的假设并不等价——它等价的是我们有无穷多的硬币。

在假设中，每掀开一次正面，硬币总数就减少一次，同时反面的次数没有减少，因此下一次反面的概率增大。但在充分多的情况下，出现一次正面，正面的硬币并没有减少，总数也没有减少，反面的总数也没有减少。为什么？因为总数是无穷多，在无穷多的正反未知的硬币中去掉一个，十个，一百个，一千个，一万个，一亿个正面的硬币之后，剩下的仍然是和原来一模一样的无穷多，仍然是正反各半。

赌徒谬误是试图应用大数定律，但是，这是错误地应用大数定律，把无限的情况当成有限的情况分析，没有认识到无限减去任意常数（哪怕是我们直观上认为很大的天文数字）仍然是无限。