Question

设随机变量X与Y相互独立，且分别服从二项分布B（n,p）

Answer 1

X，Y是相互独立的随机变量，都服从参数为n，p的二项分布求证：Z＝X＋Y服从参数为2n，p的二项分布。

由于X，Y都服从参数为n，p的二项分布，P（X＝i）＝C（n，i）p＾i（1－p）＾（n－i），P（Y＝i）＝C（n，i）p＾i（1－p）＾（n－i）。

设Z＝X＋Y，由于X，Y是相互独立，因此

P（Z＝k）＝P（X＋Y＝k）＝∑（i＝0，k）P（X＝i，Y＝k－i）＝∑（i＝0，k）P（X＝i）P（Y＝k－i）

＝∑（i＝0，k）C（n，i）p＾i（1－p）＾（n－i）C（n，k－i）p＾（k－i）（1－p）＾（n－k＋i）

＝∑（i＝0，k）C（n，i）C（n，k－i））p＾k（1－p）＾（2n－k）

＝C（2n，k）p＾k（1－p）＾（2n－k）

故Z＝X＋Y服从参数为2n，p的二项分布。

扩展资料

二项分布的应用条件：

1、各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。

2、已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1－π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。

3、n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。