Question

请教初中数学题关于圆的问题

题目如下图所示
只要回答第三问，前2问请勿回答，没有分

Answer 1

（3）证明：延长PD交圆O与E点，连接OP、OE、ME

因为D为AB中点，A、P、B、E在圆O上，

由相交弦定理知：

PD·DE=DB^2

又由题可知，三角形OBM为直角三角形，BD为底边OM上的高，

由射影定理可知：MD·DO=DB^2，

所以PD·DE=MD·DO

所以，P、O、E、M四点共圆。

所以，∠OPE=∠OME，

又因为OP=OE，

所以，∠PMO=∠OME，

所以∠OPE=∠PMO，

又因为，∠POD=∠MOP，

所以三角形OPD相似于三角形OMP

所以，PD／PM＝OD／OP

又因为sin∠ABO＝3／5，

所以，OD／OP＝OD／OB＝3／5，

即，PD／PM=3/5

又因为MQ=6PD，

所以，MP/MQ=5/18.

证毕。

Answer 2

（1）：
∵点C是弧AB的中点，AB是它的弦
∴OC平分AB ∴AD=BD
（2）： 因为P没说具体位置，所以就是动点。让P移动到C的位置上
将∠ACB视为两个∠OCB
∵∠OMB+∠MBC=∠OCB（旗子，不知你们老师有没有说过）
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴∠APB-∠OMB=∠OCB+∠OCB-∠OMB=∠OCB+∠MBC=∠OBC+∠MBC=∠OBM
∵BM是圆O的切线
∴BM⊥OB，∠OBM=90°
∴∠APB-∠OMB=90°

Answer 3

（1）连接OA
∵ C的弧AB的中点
∴ ∠BOC=∠AOC
又∵ OA=OB(为圆的半径)
∴ ∠OBC=∠OAC
则 ΔOAD≌ΔOBD
故 AD=BD
（2） ∠PAB+∠PAB=弧AB的度数=∠BOD
∠APB=180°-(∠PAB+∠PAB)=180°-∠BOD=180°-(90°-∠OMB)=90°+∠OMB
则 ∠APB-∠OMB=90°

Answer 4

（1）垂径定理
（2）∠APB+∠DOB=180°，∠OMB=∠OBD, ∠OBD+∠DOB=90° 可以证得。