Question

已知抛物线y^2=2px,(p>0)，过(2p，0)这个点作直线交抛物线于点A，点B两点，求向量OA乘以向量OB等于0。

Answer 1

因为：直线过(2p，0)
所以：直线方程为y=（x-2p)k

因为直线交抛物线于点A，B两点，
所以联立 y=（x-2p)k
y^2=2px
消y，得：k²x²-x(4pk²+2p)+4p²k²=0
设A(x1，y1), B(x2，y2)
所以x1x2=4p² ————（1）

消x，y²-(2p/k)y-4p²=0
所以y1y2=-4p²————（2）

(x1，y1)*（x2，y2)=x1x2+y1y2
所以将（1）（2）带入上式
得：x1x2+y1y2=4p²-4p²=0

所以向量OA乘以向量OB等于0

Answer 2

求向量OA乘以向量OB等于0，也就是证明OA⊥OB，也就是X1X2+Y1Y2=0
解：设直线方程为Y=（x-2p)k,与抛物线方程联立
得到关于X的二次方程：k²x²-x(4pk²+2p)+4p²k²=0
x1x2=c/a=4p²

再联立方程，得到关于Y的二次方程，求出Y1Y2即可。